Mathématiques
Les mathématiques sont-elles une langue, un jeu dont on choisit les règles, ou une exploration de structures qui nous échappent ? Le blog en propose surtout des vidéos de vulgarisation : Micmaths, Science étonnante, Veritasium, 3Blue1Brown, Numberphile. Elles racontent l’histoire d’une notation, d’un nombre, d’une conjecture, et laissent voir le travail du mathématicien.
Le parcours compte six étapes : les signes et l’écriture, les nombres, les géométries, les problèmes ouverts, le chaos et les fractales, enfin le jeu de la vie de John Conway, que l’auteur programmait adolescent. Beaucoup de vidéos sont en anglais. Les énigmes et les réflexions sur l’enseignement sont regroupées en fin de page.
- Étape 1 — Une langue et ses signes
- Étape 2 — Des nombres qui surprennent
- Étape 3 — Les géométries : des règles que l’on choisit
- Étape 4 — Chercher : conjectures et démonstrations
- Étape 5 — Chaos et fractales : déterminé ne veut pas dire prévisible
- Étape 6 — Des règles simples, des mondes complexes : le jeu de la vie
Étape 1 — Une langue et ses signes
Avant d’être des raisonnements, les mathématiques sont une écriture. Ses symboles ont une histoire, ses conventions aussi, et certaines ambiguïtés en viennent directement. Même les règles les plus familières, comme l’ordre des facteurs, cachent des idées profondes.
- D’où viennent les symboles mathématiques ? (TED-Ed)
D’où viennent le signe égal, les exposants, les lettres grecques : une leçon TED-Ed sur les mathématiques comme langage. - L’abandon des chiffres romains (Rob Eastaway – Numberphile)
Le passage des chiffres romains aux chiffres indo-arabes, lu dans le journal d’un directeur de théâtre contemporain de Shakespeare. - Le calcul qui divise : 6÷2(1+2) (Micmaths)
9 ou 1 ? Mickaël Launay ne tranche pas le calcul viral 6÷2(1+2) : l’histoire des priorités montre qu’il est ambigu. - La commutativité, ou l’art de retourner la situation (Micmaths)
La commutativité, apprise sans y penser, mène jusqu’aux domaines où l’ordre des opérations change tout.
Étape 2 — Des nombres qui surprennent
Écrire un nombre réel, calculer π, définir e : ce qui paraît acquis a demandé des siècles. Chaque nombre ouvre sur une méthode, et parfois sur une idée étrange, comme élever un nombre à la puissance d’une matrice.
- Comment écrire les nombres ayant une infinité de décimales ? (Science étonnante)
Développement décimal infini ou fractions continues : David Louapre compare deux façons d’écrire les réels. - La découverte qui a transformé π (Veritasium)
D’Archimède et ses polygones à la série de Newton, qui donne les décimales de π à une vitesse inédite. - Le nombre e, le premier sans lien avec la géométrie (Techniquement ce qu’il faut savoir)
Le nombre e, né des logarithmes, premier nombre découvert sans lien avec un problème de géométrie. - Le puzzle de la tour de puissances (3Blue1Brown)
La tour de puissances x^x^x… à l’infini, et le joli paradoxe qu’elle cache (3Blue1Brown, en direct du confinement). - Élever e à la puissance d’une matrice : comment et pourquoi (3Blue1Brown)
e à la puissance d’une matrice : une idée étrange, clé de nombreux systèmes d’équations différentielles.
Étape 3 — Les géométries : des règles que l’on choisit
Pendant deux mille ans, on a tenu la géométrie d’Euclide pour la seule possible. En renonçant à démontrer son cinquième postulat, on a découvert des géométries courbes, puis des mondes qu’on peut programmer. La géométrie se cache aussi dans des questions d’apparence anodine : une ombre, une pièce qui roule, un jeu de cartes.
- Comment une ligne du plus vieux texte mathématique annonçait des univers cachés (Veritasium)
Le cinquième postulat d’Euclide, de Bolyai, Gauss et Riemann jusqu’à la relativité générale. - Un moteur de mondes non euclidiens (CodeParade)
Un moteur de rendu pour se promener dans des mondes non euclidiens, au code libre. - Peut-on deviner une forme d’après ses ombres ? (Ben Gobler)
Peut-on reconstituer un objet à partir de quelques-unes de ses ombres ? La réponse est surprenante. - La question du SAT que tout le monde a ratée (Veritasium)
Une question du SAT de 1982 dont aucune réponse n’était juste : le « paradoxe de la pièce », jusqu’à l’astronomie. - Le jeu de cartes mathématiquement [presque] parfait (Hydrios)
Le jeu Dobble repose sur une géométrie projective finie, qui montre qu’il manque des cartes dans la boîte.
Étape 4 — Chercher : conjectures et démonstrations
Le métier mathématique, c’est aussi chercher longtemps. Un énoncé compréhensible par tous peut résister aux meilleurs, un autre tomber après cinquante ans, et une solution élégante venir d’où on ne l’attendait pas.
- Le problème le plus simple que personne ne sait résoudre : la conjecture de Syracuse (Veritasium)
La conjecture de Syracuse : assez simple pour être comprise de presque tous, jamais démontrée, et les limites de la force brute. - Une énigme de 50 ans résolue : le nœud de Conway n’est pas bordant (Micmaths)
Lisa Piccirillo, encore doctorante, démontre en 2020 que le nœud de Conway n’est pas « bordant ». - Le triangle magique : sortir des sentiers battus (MindYourDecisions)
Un problème de géométrie résolu sans trigonométrie, avec une élégance étonnante, par un élève indien.
Étape 5 — Chaos et fractales : déterminé ne veut pas dire prévisible
Henri Poincaré découvre qu’un système parfaitement déterministe peut devenir imprévisible. Une équation très simple, itérée, suffit à produire le chaos ; sur les nombres complexes, elle dessine l’ensemble de Mandelbrot, et d’autres fractales plus riches encore.
- Le chaos : de Poincaré à l’application logistique
Le documentaire sur Poincaré, autour d’Étienne Ghys, puis l’application logistique selon Veritasium. - Qu’est-ce qui rend l’ensemble de Mandelbrot si spécial ? (Numberphile)
Ben Sparks part d’une opération répétée à l’infini et montre comment naissent les ensembles de Julia et de Mandelbrot. - Une fractale plus complexe que l’ensemble de Mandelbrot (Stand-up Maths)
Matt Parker présente une fractale plus riche que celle de Mandelbrot ; souvenir de l’auteur, en BASIC sur Amstrad CPC.
Étape 6 — Des règles simples, des mondes complexes : le jeu de la vie
Quatre règles sur une grille suffisent à faire naître des structures qui bougent et se reproduisent. Le jeu de la vie de John Conway est Turing-complet ; il a des descendants continus qui semblent presque vivants. L’étape se ferme sur l’hommage de l’auteur, à la mort de Conway en 2020.
- Complexité : du jeu de la vie aux lois de puissance
Le jeu de la vie selon Science étonnante, puis les lois de puissance, qui gouvernent tas de sable et feux de forêt. - Le jeu de la vie de Conway sur un tore (Tim Hutton)
Le jeu de la vie sur un vrai tore en trois dimensions : trente secondes hypnotiques. - Construire un ordinateur dans le jeu de la vie de Conway (Alan Zucconi)
Planeurs, canons, portes logiques : Alan Zucconi montre comment on construit un ordinateur dans le jeu de la vie. - Lenia, le jeu de la vie entre au XXIe siècle (Neat AI)
Lenia, version continue du jeu de la vie, où Bert Chan fait naître des « créatures » qui se déplacent et se divisent. - John Conway et le jeu de la vie
L’hommage de l’auteur à John Conway : une première version sur Amstrad CPC, puis un jeu de la vie à quatre couleurs en 2016.
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